مدل سیستم بوسیله یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم از نوع معادله (۱-۲) اما بدون تحریک خارجی و با توابع P1(t) و P2(t) که متناوب با زمان و با دوره تناوب Tمی باشد، مورد بررسی قرار می گیرد.
برسی این نوع از معادلات در سال ۱۸۸۳ توسط فلوکات صورت گرفت و منتشر گردید و از اینرو به نظریه فلوکات معروف شد.
+ P1(t) + P2(t)x = ۰ (۳-۲)
بواسطه تبدیل مطرح شده در زیر:
x = exp[ − P1(t)d(t) ]
معادله (۳-۲) را می توان بصورت زیر نوشت :
+ P(t) = 0 (۴-۲)
که
P(t) = P2 − P12− ۱
معنی آن اینست که رفتار آزاد سیستم میرا را می توان از طریق یک سیستم نامیرا بوسیله ضرب مشتق زمانی نیرو با یک ضریب میرایی مناسب و اصلاح اندکی در فرکانس از طریق تغییر صلبیت بدست آورد. همچنین رابطه فوق را می توان برای یک سیستم خطی با ضرایب ثابت و مشخص نیز بکار برد. برای این تبدیل P1(t) قابل قبول نسبت به زمان قابل تشخیص می باشد. این رابطه را می توان برای سیستم های خطی با مشخصات ثابت نیز بکار برد. معادله (۴-۲) اولین بار توسط هیل در سال ۱۸۸۶ ارائه گردید به همین خاطر به معادله هیل معروف است. ارتعاشات یک سیستم را می توان توسط معادله هیل توصیف کرد. همانطورکه قبلا هم اشاره کردیم واکنش سیستم هایی که بطور پارامتری تحریک می شوند متفاوت از ارتعاشات آزاد سیستم هستند و زمانی ارتعاشات آزاد اتفاق می افتد که ضرایب در معادله دیفرانسیل همگن حرکت، ثابت باشند و ارتعاشات اجباری نیز زمانی رخ خواهد داد که یک ترم اضافی، نیروی متغیر با زمان به سمت راست معادله حرکت با ضرایب ثابت اضافه شود. بیشتر رزونانس ها در سیستم هایی که بطور پارامتری تحریک می شوند زمانی رخ می دهند که فرکانس تحریک تقریبا دو برابر فرکانس طبیعی باشد.
۳–۲– معادله ماتئو
معادله ماتئو شکل خاصی از معادله هیل می باشد که بصورت زیر بیان می شود :
P(t) = +2cos(2t) (۵-۲)
با جایگذاری معادله (۵-۲) در معادله (۴-۲) منجر می شود به :
+ [+۲cos(2t)]x = ۰ (۶-۲)
معادله ماتئو بیانگر واکنش تعداد زیادی از سیستم های فیزیکی به تحریک مشخصی که به صورت سینوسی به سیستم اعمال می شود، می باشد. بعنوان یک مثالی از آن می توان به یک پاندول که از یک میله یکنواخت که در یک نقطه از سطح مفصل شده و یک نوسان سینوسی را در جهت عمودی ایجاد می کند، چنانکه در شکل ۳-۲ نشان داده شده، اشاره نمود.
شکل ۳-۲- تحریک عمودی متناوب در نتیجه نوسان آونگی میله یکنواخت[۹]
گرچه معادله ماتئو یک معادله دیفرانسیلی خطی می باشد، آنرا بطور تحلیلی در ترم های توابع استاندارد نمی توان حل نمود. یکی از دلایلش اینست که ضرایب آن ثابت نیست و وابسته به زمان است. خوشبختانه ضرایب متناوب با زمان بوده و این اجازه را می دهد که قضیه فلوکات را در مورد آن بکار ببریم. قضیه فلوکات می گوید که در یک معادله دیفرانسیلی خطی، یک مجموعه ای از جواب های پایه (اولیه) وجود دارد که ما می توانیم با بهره گرفتن از آنها جواب های دیگر معادله را بدست آوریم. بنابراین قضیه، جواب معادله (۶-۲) بصورت زیر می شود :
x(t) = exp(t)(t)
که یک توان مشخصه است و=(t + π) (t) می باشد. زمانیکه قسمت حقیقی یکی از ها، مثبت باشد، x ناپایدار و با گذشت زمان نامحدود خواهد بود و زمانیکه قسمت های حقیقی ها، به صفر برسند حرکات پایدار از ناپایدار جدا خواهد شد. مکان هندسی مقادیر متناظر با و ، منحنی های انتقال نامیده می شوند.
۴–۲– ویژگی های خاص تحریک
تحریک اهمیت های متفاوتی دارد که باعث می شود که یک رزونانس ثابت و مشخص از یک رزونانس معمولی که مستقیما توسط اعمال نیروی خارجی روی سیستم ایجاد می شود، از هم تمایز یابند[۱۱]. رشد دامنه ارتعاشات در طی مدت یک تحریک پارامتری بوسیله تغییرات تناوبی نیرو میسر خواهد شد. رزونانس ثابت و مشخص زمانی میسر خواهد شد که یکی از شرایط زیر برای فرکانس ω یا برای دوره تناوب T برآورده شود.
ω = ۲ω۰n, T = nT02 (n = ۱,۲,۳ …)
طبق رابطه فوق ماکزیمم انرژی انتقالی به سیستم ارتعاشی زمانی اتفاق می افتد که فرکانس ثابت و مشخص(ω) دو برابر فرکانس طبیعی سیستم (ω۰) باشد. تفاوت بین تحریک ثابت و مشخص با ارتعاش ناشی از تحریک خارجی، ازلحاظ وابستگی رشد انرژی به انرژی ذخیره شده در سیستم می باشد. برای تحریک خارجی افزایش انرژی متناسب با دامنه ارتعاشات است، در صورتیکه در رزونانس ثابت و مشخص افزایش انرژی متناسب با انرژی ذخیره شده در سیستم است. تلفات انرژی ناشی از تحریک اجباری متناسب با انرژی ذخیره شده در سیستم می باشد و با رشد دامنه محدود می شود. رزونانس ثابت و مشخص فقط زمانی صورت خواهد گرفت که اندازه آن از یک مقدار سر حدی بالاتر رود و آن زمانی میسر خواهد شد که افزایش انرژی در طول یک دوره تناوبی بزرگتر از مقدار انرژی تلف شده در طی یک زمان مشخص باشد. مقدار (سرحدی) بحرانی ارتفاع نوسان، وابسته به میرایی سیستم می باشد. به هر حال اگر ارتفاع نوسان از سرحد معین تجاوز کند، انرژی تلف شده بوسیله میرایی در یک سیستم خطی نمی تواند رشد دامنه را محدود کند.
۵–۲– اصول مربوط به فرایند تحریک
فرایند تحریک در ژیروسکوپ ارتعاشی MEMS در این بخش به تفصیل بیان می شود. اکثر ژیروسکوپ های MEMS از نوع ارتعاشی با اندازه حرکت خطی هستند، که آشکار سازی چرخش ورودی در آنها بر اساس بروز شتاب کوریولیس ناشی از وجود حرکت ارتعاشی خطی در دستگاه مختصات چرخان انجام می گیرد. لذا ایجاد ارتعاشات خطی یا تشکیل امواج ایستای دائمی با دامنه و فرکانس ثابت و مشخص جزء لاینکف ژیروسکوپ می باشد. با توجه به اینکه ضریب تبدیل و دیگر مشخصات ژیروسکوپ به دامنه ارتعاشات تحریک شده بستگی دارند، در نتیجه کنترل دامنه و کل فرایند تحریک از اهمیت خاصی برخوردار است.
۶–۲– اصول مربوط به تحریک در ژیروسکوپ دیاپازونی
المان حساس نسبت به قاب خارجی با بهره گرفتن از محرک های شانه ای و بواسطه یک سیستم محرک الکترواستاتیکی تحریک می شود بطوریکه دارای یک حرکت خطی سینوسی با یک سرعت کنترل شده
می باشد.اگر یک دوران خارجی بصورت جزئی حول محور قائم اعمال شود، نیروی کوریولیس که به جرم تحریک شده اعمال شده بود به قاب خارجی منتقل می شود. دو شاخه دیاپازون دارای فاز مخالفی نسبت به هم بوده و بصورت موازی با جهت حرکت جرم تحریک شده مرتعش می شوند. فشردگی و کشش شاخه های دیاپازون بصورت متناوب توسط نیروی کوریولیس در نتیجه میزان سازی فرکانس تحریک، ناشی از حرکت جرم، با فرکانس رزونانسی ناشی از نیروی کوریولیس، صورت می گیرد. بنابراین سرعت دورانی اعمال شده به ژیروسکوپ را بوسیله یکسو نمودن فرکانس خروجی نوسانساز می توان برآورد نمود. سیستم محرک الکترواستاتیکی بدین منظور مورد استفاده قرار می گیرد تا جرم را مجبور به حرکت در امتداد یک مسیر (محور تحریک) سازد. رابط بین بخش مداری و سیستم مکانیکی کل مدار تحریک حلقه بسته شامل دو قسمت است : رابط نیروی الکترواستاتیکی ناشی از ولتاژ تحریک شده که به جرم تحریک شده اعمال می شود و دیگری رابط خروجی ظرفیت الکتریکی است. مدار تحریک حلقه بسته شامل دو فرایند تبدیل بین ظرفیت الکتریکی و ظرفیت دینامیکی است.
شکل۵-۲- شماتیک میکرو ژیروسکوپ
وقتی سرعت دورانی حول محور- z ایجاد می شود، نیروی کوریولیس در امتداد محور- y ، به هر دو قاب خارجی و داخلی اعمال می شود. نیروی کوریولیس مطابق رابطه زیر بیان می شود :
F(t) =۲mZ(t )(t)(7-2)
که m جرم تحریک شده(المان حساس)، Z سرعت زاویه ای خارجی حول محور قائم و سرعت نوسان جرم تحریک شده و علامت نشان دهنده حاصلضرب برداری سرعت نوسان جرم تحریک شده می باشد که لازم است مقدار ثابتی باشد[۱۲و۱۳]. شتاب کوریولیس که در امتداد محور سنس اعمال می شود با بهره گرفتن از رابطه زیر بدست می آید :
(t) = 2 Z(t)(t) (8-2)
۷–۲– طراحی و تفهیم مدار تحریک حلقه بسته
موضوع و مسئله ای که در فرایند تحریک تحت کنترل قرار می گیرد، نوسانات ثابت و پایدار می باشد. حل معمول آن شامل طراحی یک نوسان ساز استانداردی است که بصورت المان رزونانسی در یک حلقه فیدبک مثبت قرار می گیرد. [۱۴و۱۵[. رفتار رزونانسی بواسطه دینامیک جرم تحریک شده ظاهر می گردد و سیستم رزونانسی اساسا” از نوع دینامیک مرتبه دوم، است. همانطور که قبلا هم اشاره شد، ثبات و پایداری دامنه تحریک یک عامل کلیدی است که محدوده صحت و دقت ژیروسکوپ MEMS را مشخص می کند. بنابراین ما باید کنترل دامنه را با اصلاح دقت اندازه گیری جهت داشتن یک ساختار بهینه ای از ژیروسکوپ انجام دهیم. مفهومش آنست که هدف از هر مدار تحریک محافظت از ثبات و پایداری دامنه می باشد[۱۶و۱۷]. معادله حرکت ساده شده برای میکرو ژیروسکوپ بصورت زیر می باشد.
m + c + Kx = Fe (۹-۲)
که x میزان جابجایی روی محور تحریک و بر حسب متر،m = m1+m2 المان حساس تحریک بر حسب کیلوگرم، c میرایی و K سختی (استحکام) می باشند. Fe=Fdsindt همان نیروی الکترواستاتیکی است که جهت محافظت از ارتعاش فرایند تحریک در یک دامنه مشخصی از ترم های جابجائی، و در یک فرکانس رزونانسی ناشی از فرایند تحریک مورد استفاده قرار می گیرد. میزان جابجائی، سرعت و شتاب حرکت هارمونیک در امتداد محورتحریک در حالت پایدار بصورت زیر بدست می آید :(Fdrive = Fd و d =drive )
x(t) = A sin(dt + )
(t) =d A cos(dt + ) (۱۰-۲)
(t) = –d2 A sin(dt +)
که :
A =
= –tg-1()
= , =
