وبلاگ

(الف)

(ب)

شکل (‏۱‑۱۲) شبکه فضای k و ناحیه بریلوین نانولوله کربنی از نوع (الف) زیگزاگ (۳،۰) و (ب) مبلی (۳،۳) [۱].
در شکل (‏۱‑۱۲) اولین ناحیه بریلوین و شبکه فضای k نشان داده شده است. خط­های موازی، زیرباندها را نشان می­ دهند که به فاصله از یک­دیگر قرار گرفته­اند و دارای طولی به­اندازه هستند.
برای به­دست آوردن معادله­های پاشندگی، شرایط مرزی متناوب در جهت محیط نانولوله کربنی به­شکل زیر اعمال می­ شود:

(‏۱‑۱۵)
که s ضریب جهتِ^[۲۱] زیر­باند است [۱].

نانولوله کربنی زیگزاگ

این نوع نانولوله کربنی می ­تواند هم فلز و هم نیمه­رسانا باشد. ناحیه­ی بریلوین نقطه k را قطع می­ کند و تنها زمانی­که باشد (q عدد صحیح است) فلز خواهد بود. در غیر این­صورت شکاف باندی^[۲۲] را خواهد داشت که به­ طور معکوس متناسب با قطرش است. برای این نوع نانولوله کربنی معادله (‏۱‑۱۵) به­شکل زیر نوشته می­ شود:
(‏۱‑۱۶)
که در آن است، با قرار دادن معادله (‏۱‑۱۶) در (‏۱‑۷) و جاگذاری k_y با k_z به­عنوان جهت محور به­رابطه پاشندگی زیر خواهیم رسید:
(‏۱‑۱۷)
رابطه (‏۱‑۱۷) درشکل (‏۱‑۱۳-الف) برای نانولوله کربنی از نوع زیگزاگ (۳،۰) با ماهیت فلزی در طول اولین ناحیه­ی بریلوین رسم شده است. دو تا از زیر­باندها انرژی فرمی را در Γقطع می­ کنند. با مقایسه شکل (‏۱‑۱۲-الف) با شکل (‏۱‑۱۳-الف) مشاهده می­کنیم که زیر­باندهای متناظر، لبه­ی ساختار شش­گوشه را در نقاط مشخص­شده در شکل (‏۱‑۱۲) قطع می­ کنند [۱].

نانولوله کربنی مبلی

نانولوله کربنی ِمبلی از نوع فلز است، زیرا ناحیه­ی بریلوین یک بعدی آن همیشه نقاطk را قطع می­ کند. با بهره گرفتن از (‏۱‑۱۵) شرایط مرزی تعیین می­ شود که بردار موجِ محیطیِ مجاز را تعیین می­ کند:
(‏۱‑۱۸)
برای با جاگذاری k_x از معادله (‏۱‑۱۸) در معادله (‏۱‑۷) و جاگذاری k_y با k_z به­رابطه پاشندگی نوع مبلی خواهیم رسید:
(‏۱‑۱۹)
در حالی­که k_z در جهت k₂ است و تناوبی به­اندازه دارد. در شکل (‏۱‑۱۳-ب) رابطه پاشندگی از نوع مبلی رسم شده است [۱].
نانولوله­های کربنی که در دو دسته گفته شده در بالا نباشند، از نوع کایرال، ، هستند.

(الف)

(ب)

شکل (‏۱‑۱۳) دیاگرام پاشندگی الکترونی نانولوله کربنی از نوع (الف) زیگزاگ (۳،۰) و (ب) مبلی (۳،۳). ناحیه سایه­خورده زیرِ انرژی فرمی، ناحیه باند ظرفیت است [۱].

مباحث فیزیکی

ناحیه­ی بریلوین

در انتشار هر گونه حرکت موجی از میان شبکه کریستالی، بسامد، تابعی متناوب از بردار موج k است. این تابع ممکن است به­ دلیل چند مقداره بودن پیچیده باشد، به­منظور ساده­سازی رفتارِ حرکت موج در کریستال، یک ناحیه در فضای k تعریف می­ شود که ناحیه متناوب پایه را تشکیل می­دهد. بسامد یا انرژی برای یک بردار موج k خارج از این ناحیه ممکن است توسط یکی از بردارهای k که در داخل این ناحیه است، تعیین شود. این ناحیه را ناحیه­ی بریلوین گویند. معمولا توجه­ها به­بردارهای k در داخل این ناحیه متمرکز می­ شود. ناپیوستگی تنها در روی مرزها رخ می­دهد. به­ طور خلاصه، هر بردار موج در خارج از این ناحیه برابر با برخی بردارهای داخل این ناحیه است [۳-۲].

حالت بلاخ

یک موج بلاخ (حالت بلاخ، تابع بلاخ و یا تابع موجِ بلاخ نیز گفته می­ شود) که به­خاطر فیزیکدان سوییسی به­نام فلیکس بلاخ^[۲۳] به­این نام شناخته شده است، یک نوع تابع موج برای ذره­ای است که در یک محیط متناوب باشد، معمولا برای الکترون­ها در کریستال کاربرد دارد. یک تابع موجΨ یک موج بلاخ است اگر به­ صورت زیر باشد:
(‏۱‑۲۰)
که r موقعیت، Ψ موج بلاخ، u یک تابع متناوب با تناوب مشابه با کریستال است، k یک عدد حقیقی است که بردارموج کریستال نامیده می­ شود، e عدد اولر^[۲۴] نامیده می­ شود وj واحد موهومی است.
به­عبارت دیگر اگر یک موج صفحه­ای را در یک تابع متناوب ضرب کنید موج بلاخ حاصل می­ شود [۴].

نوسان­های بلاخ

زمانی­که الکترون­ها در زنجیره­ی یک بعدی و خطی از اتم­های مورد اعمال میدان الکتریکی ثابت خارجی قرار می­گیرند، شاهد نوسان­های بلاخ خواهیم بود. الکترون­ها در انواع مختلف نانولوله­های کربنی، نوسان­هایی با بسامد زاویه­ای بلاخ متناسب با میدان الکتریکی ثابت اعمالی در طول محور نانولوله کربنی نشان می­ دهند [۵].