(۲-۱۸)
اکنون می‌توانیم برای فضاهای تمام توابع مربع انتگرال‌پذیر و قابل اندازه‌گیری،موارد زیر را بیان کنیم:
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۲-۱۹)
که تابع مقیاس‌بندی را حذف می‌کند و تابع را فقط برحسب موجک‌ها نمایش می‌دهد. اگر (f(x عنصری از تابع V1 باشد ولی در V0 نباشد، بسط شامل تخمینی از (f(x با بهره گرفتن از توابع مقیاس‌بندی V0 است. موجک‌هایی از W0، تفاوت (تفاضل) بین این تخمین و تابع واقعی را رمزگذاری می‌کند.
چون فضاهای موجک در داخل فضاهایی قرار دارند که توسط توابع مقیاس‌بندی دقت بالاتر بعدی پوشش داده می‌شوند، هر تابع موجک می‌تواند به‌صورت مجموع موزون از توابع با دقت مضاعف و انتقال یافته (شیفت داده شده)، بیان شود.
۲-۲-۷-تبدیل موجک گسسته[۵۹]
همانند بسط سری‌های فوریه، بسط سری‌های موجک بخش قبل، تابعی از متغیر پیوسته را به‌دنباله‌ای از ضرایب نگاشت می‌کند. اگر تابع در حال بسط، گسسته باشد (یعنی دنباله‌ای از اعداد باشد)، ضرایب حاصل از تبدیل موجک گسسته می‌نامند [۲].
در حقیقت نسخه گسسته شده تبدیل موجک، یک سری موجک است که از تبدیل موجک پیوسته نمونه گرفته شده‌است. لذا اطلاعات موجود در آن بسیار زائد و اضافی است که منجر به‌افزایش بار محاسبات می‌شود. به‌همین دلیل از تبدیل موجک گسسته استفاده می‌شود که از لحاظ پیاده‌سازی بسیار ساده‌تر و بهتر است.
اصول تبدیل موجک گسسته به‌روشی تحت عنوان کدینگ زیرباند برمی‌گردد که در سال ۱۹۷۶ سنگ‌بنای اولیه آن گذارده شد. ایده اصلی این روش نیز مشابه تبدیل موجک پیوسته است که در آن نوعی توصیف زمان-مقیاس از سیگنال گسسته با بهره گرفتن از فیلتر‌های دیجیتال ارائه می‌گردد. تبدیل موجک، حاصل شباهت‌سنجی بین محتوای فرکانسی سیگنال و تابع موجک در مقیاس‌های مختلف است. در حالت موجک گسسته، فیلتر‌هایی با فرکانس قطع‌های مختلف برای تحلیل سیگنال در مقیاس‌های مختلف آن تحلیل می‌شود. در حالت گسسته، رزولوشن سیگنال توسط عملکرد‌های فیلتر‌ها کنترل می‌شود و مقیاس از طریق نمونه‌ساز کم با نمونه‌ساز زیاد تغییر می‌کند.
روند پردازش با تبدیل موجک گسسته چنین آغاز می‌شود، در ابتدا سیگنال از یک فیلتر دیجیتال پائین‌گذر نیم‌باند با پاسخ ضربه h[n] عبور می‌کند و خروجی فیلتر برابر است با کانولوشن[۶۰] ورودی و پاسخ ضربه فیلتر. در نتیجه این عمل فیلترینگ، تمام مولفه‌های فرکانسی که بیشتر از نصف بزرگترین فرکانس موجود در سیگنال باشد حذف می‌شوند. از آنجا که بیشترین فرکانس موجود در سیگنال خروجی فیلتر برابر است با رادیان، نیمی از نمونه‌ها قابل حذف هستند. لذا با حذف یک در میان نمونه‌ها، طول سیگنال نصف خواهد شد بدون اینکه اطلاعاتی را از دست داده باشیم. روند مشابهی نیز با بهره گرفتن از یک فیلتر دیجیتال بالاگذر نیم باند با پاسخ ضربه g[n] انجام می‌پذیرد. در نتیجه خروجی اولین مرحله از اعمال تبدیل موجک، دو نسخه، یکی بالاگذر و دیگری پایین گذر، با طول کاهش یافته از سیگنال اولیه به‌دست می‌آیند.
با این عمل، رزولوشن زمانی نصف شده و در مقابل رزولوشن فرکانسی دو برابر می‌شود. این روند را می‌توان دوباره بر روی نسخه پایین‌گذر شده اعمال نمود و در هر مرحله، با کاهش رزولوشن زمانی به‌میزان نصف مرحله قبل، رزولوشن فرکانسی را دو برابر نمود. این ایده برای محاسبه تبدیل موجک گسسته به‌روش بانک‌فیلتر مشهور است که ضرایب خروجی فیلتر پایین‌گذر، شکل اولیه سیگنال را دنبال می‌کنند، به‌همین دلیل ضرایب، تقریب[۶۱] گفته می‌شود. همچنین ضرایب خروجی فیلتر بالاگذر، جزئیات فرکانس بالای سیگنال را دربردارند، به‌همین دلیل به ضرایب، جزئیات گفته می‌شود. با افزایش تعداد مراحل تبدیل، میزان جزئیات نیز کاهش می‌‌یابد.
باید دقت داشت که تعداد مراحل مورد نیاز برای تبدیل موجک گسسته، به خصوصیات فرکانسی سیگنال مورد تحلیل بستگی دارد. در آخر تبدیل موجک گسسته سیگنال از کنار یکدیگر قرار دادن خروجی‌های فیلتر‌ها، از مرحله اول اعمال فیلترینگ به‌دست می‌آید. بدین صورت، تعداد ضرایب تبدیل موجک با تعداد نمونه‌های سیگنال گسسته ورودی برابر خواهد بود.
۲-۱-۸- تبدیلات موجک در دو بعد
تبدیلات یک بعدی موجک به‌آسانی به توابع دوبعدی مثل تصاویر بسط داده می‌شوند [۲]. در حالت دوبعدی، به یک تابع مقیاس‌بندی دوبعدی، مثل ، و سه موجک دوبعدی ، و مورد نیاز است. این موجک‌ها، تغییرات تابعی را در جهت‌های مختلف اندازه‌گیری می‌کنند (تغییرات شدت روشنایی برای تصاویر) : تغییرات را در طول ستون‌ها (مثلاً لبه‌های افقی) اندازه‌گیری می‌کند، به تغییرات در طول سطرها پاسخ می‌دهد (مثل لبه‌های عمودی)، متناظر با تغییرات در طول قطرها است. با توجه به توابع موجک و مقیاس‌بندی دوبعدی، بسط DWT یک بعدی به دوبعدی، آسان است.
بنابراین، تبدیل موجک گسسته‌ی تصویر (f(x,y به اندازه به‌صورت زیر است:
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
همانند حالت یک بعدی، j0 یک مقیاس شروع دلخواه است و ضرایب ، تخمینی از (f(x,y را در مقیاس j0 تعریف می‌کند. ضرایب ، جزییات افقی، عمودی، و قطری را برای مقیاس‌های می‌افزاید. (f(x,y از طریق تبدیل موجک گسسته معکوس زیر به‌دست می‌آید:
(۲-۲۲)
فرم در حال بارگذاری ...
